Устаревшее.
Легкий безрессорный четырехколесный экипаж.
Наконец он велел запрячь себе беговые дрожки, оделся потеплее (это было уже в конце сентября) и, сам правя, выехал со двора (1841. Пушкин А. Дубровский).
Современный контекст:
Потом мы слышали, едучи на беговых дрожках с племянником и братом Юлием по большой дороге, как в березовом лесу рядом с большой дорогой пели косцы ― с такой же свободой, легкостью и всем существом (1968. Казаков Ю. Рассказчик Олег Кибитов).